3D Animations and Stills

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Zeitabhängige polare Ausbreitung

Additive Mischung

Verweise:

Mathematische Grundregeln

2D und 3D Funktionen und ihre Darstellung

2D Funktionen nach Namen

Einleitung
Konventionen

Die Programmentwicklung von Flächen- und Volumenkonstruktionen erfordert meist eine Anpassung an die von der Software vorgeschriebenen Syntax. So erlauben viele Dateiformate ausschliesslich die Parameterform (x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t)) im kartesischen Koordinatensystem, andere erfordern bei Bewegungen oder Drehungen (statt den Absolutwerten) die Differenzwerte. Auch wenn sich die mathematische Bescheibung von Objekten oft sehr einfach gestaltet (Polarform, komplexe Form, implizite Gleichung usw.), so bildet die, von der jeweiligen Software beanspruchte Syntax, manchmal eine Hürde zwischen Mathematik und Algorithmus.

Die meisten Vektordateien bevorzugen die Parameterform: ein Punkt im Raum wird durch drei Werte x,y und z definiert. Da die übliche Schreibweise f(t) leicht zu Verwechslungen mit der Zeitvariablen t (bei Animationen) führen kann, verwenden wir in der parametrischen Schreibweise statt der unabhängigen Variablen t stets den Buchstaben p, also z=f(p). Ebenso werden wir bei zweidimensionalen Funktionen (da sie meist die Grundlagen für dreidimensionale Entwicklungen darstellen) die vertikale Achse stets mit z bezeichnen. Die beiden Variablen x und y bilden somit immer die horizontale Fläche.

2D Normalverteilung
(Glockenkurve)

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung finden wir die nützliche Funktion . Die Darstellung dieser Funktion entspricht der Abb.1a. Die gleichmässige Form dieser Kurve findet in vielen Bereichen ihre Anwendung.

Abb 1a: Flankenveränderung

Abb 1b: Positionierung

Der Wertebereich dieser Funktion liegt zwischen 0 und 1. Die Multiplikation mit einer beliebigen Kurve entspricht dann dem geschmeidigen Einblenden dieser anderen Kurve in dem Bereich. Diese Eigenschaft wird vielfach in Vektorkonstruktionen eingesetzt, wenn es gilt, an bestimmten Stellen Veränderungen an einem Objekt zu bewirken. Geignete Programme erlauben zum Beispiel, geografische Veränderungen in ein bestehendes Relief einzubinden.

Ebenfalls verwendet man diesen Kurvenzug in Beschleunigungen (auch von realen Schrittmotoren) oder sogar in Pixelgrafik-Editoren. Durch Hinzufügen eines weiteren Parameter a wird die Flankensteilheit veränderbar (horizontale Dehnung). Der Nutzungsbereich (die Fläche) der Funktion wird dadurch ebenfalls verändert. Ebenso kann die horizontale Position (Verschiebung) durch einen geeigneten Differenzparameter variiert werden. Dann entspricht die zweidimensionale Gesamtfunktion der Gleichung:

3d-Variante
(Polare Variante)

Ersetzen wir die X-Achse durch den Radius in einer x,y-Ebenen, so erhalten wir eine räumliche Variante (Abb. 3).

Abb.2: Polare XY-Ebene

Hüllkurve
Multiplikation mit einer Definition

Die Multiplikation dieser Hüllkurve (Hüllfläche) mit einer Definition entspricht dann der Bewertung dieser Definition in verschiedenen Bereichen. Das Beispiel in Abb. 3a (z = cos x) und 3b zeigt, wie eine Kosinuskurve durch diese Hüllkurve eingeschleift werden kann. Die oben erwähnten eingefügten Parameter legen die genaue Position des Maximalbereiches im XY-Plan fest.

Abb.3a: z = cos x

Abb.3b: z = f_G(x) cos(x)

Übertragen in die 3D-Ebene ergibt das folgendes Resultat:

Abb.4a: kartesische Basis

Abb.4b: polare Basis

Zeitabhängige Ausbreitung
Kreisförmige Wellenausbreitung

Wird der Positionsparameter zeitabhängig (also eine abhängige Funktion der Frame-Nummer), so entsteht eine sich zeitlich verändende Bewegung, die einer kreisförmigen Wellenausbreitung entsprechen kann.

Abb.5a: Zeitabhängige Verschiebung

Abb.5b: Polare Ausbreitung

In ähnlicher Weise kann diese Methode auch zur Darstellung einer Amplitudenausbreitung bei elektromagnetischer Wellen angewendet werden. Derart mathematisch konstruierte Grundstrukturen/Bewegungen haben den Vorteil, daß sämtliche Definitionsparameter als abhängige Variablen herausgeführt und somit entsprechend beeinflußt werden können. Wirkt der zeitliche Ablauf ebenfalls auf die Amplitude, so kann beispielsweise ein dämpfender Einfluß simuliert werden, wie er in zähfließenden Flüssigkeiten (insbesondere bei elektromagnetischen Abschwächungen) zu beobachten ist.

Additive Mischung
Sich überlagernde Wellenzüge

Die scheinbar komplexen Strukturen, die entstehen, wenn zwei oder mehrere Wellenzüge sich durchqueren, stellen eine additive Mischung dar. Mit der oben beschriebenen Funktion der Wellenausbreitung können einzelne, zeitlich verschobene Bewegungen erstellt werden, die mittels Addition zusammengefügt werden.

Abb.6: Additive Mischung

Abb.7: Fertig gerenderte Animation

In der Amplitudenmodulation (AM) findet man ebenfalls die multiplikative Mischung. In der Hochfrequenz wird einer Trägerfrequenz (Sendefrequenz) ein Nutzsignal (z.B. Sprache) aufmoduliert. Je nach angewandter Technik wählt man eine multiplikative oder additive Modulationsart.